Question

19．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1．
（1）計算f（$\frac{9}{7}$）的值；
（2）判斷f（x）的奇偶性并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知中的函數(shù)解析式，將x=$\frac{9}{7}$代入，結合對數(shù)的運算性質，可得答案；
（2）根據(jù)奇函數(shù)的定義，結合已知中函數(shù)的解析式，結合對數(shù)的運算性質，可證得結論．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，
∴f（$\frac{9}{7}$）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{\frac{9}{7}+1}{\frac{9}{7}-1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$8=${log}_{{（2}^{-2}）}（{2}^{3}）$=-$\frac{3}{2}$，
（2）函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1為奇函數(shù)，理由如下：
由函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1的定義域關于原點對稱，
且f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{-x+1}{-x-1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x-1}{x+1}$=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ （$\frac{x+1}{x-1}$）^-1=-log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
故函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{4}}$ $\frac{x+1}{x-1}$，x＞1或x＜-1為奇函數(shù)．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)求值，對數(shù)的運算性質，難度中檔．