如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1
.
BB1,AB=AC=AA1=
2
2
BC,B1C1
.
1
2
BC

(1)求證:A1B1⊥平面AA1C;
(2)求證:AB1∥平面A1C1C;
(3)求二面角C1-A1C-A的余弦值.
分析:(1)證明A1B1⊥平面AA1C,只需證明AB⊥平面AA1C,A1B1∥AB;
(2)取BC的中點D,連接AD,DC1,則四邊形B1DCC1和BDC1B1為平行四邊形,從而可證平面AB1D∥平面A1C1C,即可得到AB1∥平面A1C1C;
(3)由(1)知,AA1,AB,AC兩兩垂直,建立如圖所示的直角坐標系,設BC=2,用坐標表示點與向量,求出平面A1C1C的法向量
m
=(1,-1,1)
,平面A1AC的法向量為
n
=(1,0,0)
,利用向量的夾角公式,即可求得結論.
解答:(1)證明:∵AB=AC=
2
2
BC
,∴AB⊥AC
∵AA1⊥平面ABC,∴AA1⊥AB
∵AA1∩AC=A
∴AB⊥平面AA1C
∵AA1平行且BB1
∴四邊形ABB1A1為平行四邊形
∴A1B1∥AB
∴A1B1⊥平面AA1C;
(2)證明:取BC的中點D,連接AD,DC1,則CD平行且等于B1C1,BD平行且等于B1C1
∴四邊形B1DCC1和BDC1B1為平行四邊形
∴B1D平行且等于CC1,∴C1D平行且等于B1B
由(1)B1B平行且等于AA1,∴C1D平行且等于A1A
∴四邊形AA1C1D為平行四邊形
∴AD∥A1C1
∵B1D∩AD=D,B1D,AD?平面AB1D
∴平面AB1D∥平面A1C1C
∵AB1?平面AB1D
∴AB1∥平面A1C1C;
(3)解:由(1)知,AA1,AB,AC兩兩垂直,建立如圖所示的直角坐標系,設BC=2,則A1(0,0,
2
),C(0,-
2
,0)
,C1(-
2
2
,-
2
2
,
2

A1C
=(0,-
2
,-
2
)
A1C1
=(-
2
2
,-
2
2
,0)
設平面A1C1C的法向量為
m
=(x,y,z)
,則
m
A1C1
=0
m
A1C
=0
,∴
-
2
x
2
-
2
y
2
=0
-
2
y-
2
z=0
,∴
m
=(1,-1,1)

∵平面A1AC的法向量為
n
=(1,0,0)

∴cos
m
,
n
=
m
n
|
m
||
n
|
=
3
3

∵二面角C1-A1C-A的為鈍二面角,∴二面角C1-A1C-A的余弦值為-
3
3
點評:本題考查線面垂直,線面平行,面面角,考查利用向量方法解決立體幾何問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB
,B1C1
.
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(Ⅰ)求證:AB1∥平面 A1C1C;
(Ⅱ)求BC與平面A1C1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•青島二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=
12
BC.
(Ⅰ)求證:面A1AC⊥面ABC;
(Ⅱ)求證:AB1∥面A1C1C.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•合肥一模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1⊥平面ABC,AA1∥=BB1,AB=AC=AA1=
2
2
BC
,B1C1∥=
1
2
BC

(1)求證:A1B1⊥平面AA1C;
(2)若D是BC的中點,求證:B1D∥平面A1C1C;
(3)若BC=2,求幾何體ABC-A1B1C1的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•鄭州二模)如圖,在多面體ABC-A1B1C1中,四邊形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=
2
AB,B1C1
.
1
2
BC
,二面角A1-AB-C是直二面角.
(I)求證:A1B1⊥平面AA1C; 
(II)求證:AB1∥平面 A1C1C;
(II)求BC與平面A1C1C所成角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案