Question

2．已知直線y=ax與圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于兩點A，B，且△CAB為等邊三角形，則圓C的面積為6π．

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離為Rsin60°，再根據(jù)點到直線的距離公式列出方程，求出圓的半徑即可．

解答 解：圓C化為x²+y²-2ax-2y+2=0，
即（x-a）²+（y-1）²=a²-1，
且圓心C（a，1），半徑R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直線y=ax和圓C相交，△ABC為等邊三角形，
∴圓心C到直線ax-y=0的距離為
Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即d=$\frac{{|a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3{（a}^{2}-1）}}{2}$，
解得a²=7，
∴圓C的面積為πR²=π（7-1）=6π．
故答案為：6π．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離是解題的關(guān)鍵．