Question

已知兩個橢圓的方程分別是
C₁：x²+9y²-45=0，
C₂：x²+9y²-6x-27=0、
（1）求這兩個橢圓的中心、焦點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過這兩個橢圓的交點(diǎn)且與直線x-2y+11=0相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把C₁的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知a，b的值，進(jìn)而求得c的值．進(jìn)而可得橢圓C₁的中心和焦點(diǎn)坐標(biāo)；同樣把C₂的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓的性質(zhì)可知a，b的值，進(jìn)而求得c的值．而可得橢圓C₁的中心和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）把兩個橢圓方程聯(lián)立，可求得交點(diǎn)的坐標(biāo)．設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入聯(lián)立方程，即可求得E和F，再利用圓與直線x-2y+11=0相切求得D，進(jìn)而可得所求圓的方程．
解答：解：（1）把C₁的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得C₁：．
可知橢圓C₁的中心是原點(diǎn)，
焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是
把C₂的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
得C₂：=1∴a=6，b=2，c=4．
可知橢圓C₂的中心坐標(biāo)是（3，0），
點(diǎn)坐標(biāo)分別
（2）解方程組
所以兩橢圓C₁，C₂的交點(diǎn)坐標(biāo)是A（3，2），B（3，-2）
設(shè)所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0、
因為A，B兩點(diǎn)在圓上，所以有解得E=0，F(xiàn)=-3D-13
從而所求圓的方程為x²+y²+Dx-3D-13=0
由所求圓與直線x-2y+11=0相切，可知方程+Dx-3D-13=0即5x²+（22+4D）x-12D+69=0的判別式為0
就是D²+26D-56=0解得D=2，或D=-28
從而所求圓的方程是x²+y²+2x-19=0，或x²+y²-28x+71=0、
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)和橢圓與直線及圓的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力．