Question

一火車鍋爐每小時消耗煤費用與火車行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為每小時20千米時，每小時消耗的煤價值為40元，其他費用每小時需200元，問火車行駛的速度為多大時，才能使火車從甲城開往乙城的總費用為最�。ㄒ阎�火車最高速度為100km/h）．

Answer 1

分析：設(shè)出甲、乙兩城的距離，火車速度，每小時消耗的煤價值，由速度為每小時20千米時，每小時消耗的煤價值為40元求出正比例系數(shù)，得到總費用y=（

1

200

x³+200），然后利用導(dǎo)數(shù)求出總費用最小時的火車的速度．

解答：解：設(shè)甲、乙兩城相距為a千米，火車速度為xkm/h，每小時消耗的煤價值為p，
依題意有p=kx³（k為比例常數(shù)），由x=20，p=40，得k=

1

200

，
∴總費用y=（

1

200

x³+200）•

a

x

=a(

x2

200

+

200

x

)（x＞0），
由y'=a(

x

100

-

200

x2

)，令y'=0解得，x=10

3	20

，
當(dāng)0＜x＜10

3	20

時，y'＜0；當(dāng)10

3	20

＜x＜100時，y'＞0，
∴當(dāng)x=10

3	20

時，y取最小值，
∴要使費用最省，火車速度應(yīng)為10

3	20

km/h．

點評：本題考查了函數(shù)模型的選擇與運用，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求最值，是中檔題．