設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N*，都有（an-1）（an+3）=4Sn，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，試證明不等式＜1成立．
【答案】分析：（I）先將題設(shè)中數(shù)列的和與項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為數(shù)列的項(xiàng)的關(guān)系式，根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可；
（II）求出an，再求出數(shù)列的通項(xiàng)，用裂項(xiàng)相消法求出Tn，根據(jù)Tn的單調(diào)性證明即可．
解答：解：（Ⅰ）∵（an-1）（an+3）=4Sn，當(dāng)n≥2時(shí)，（an-1-1）（an-1+3）=4Sn-1，
兩式相減，得，即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，又an＞0，∴an-an-1=2．
當(dāng)n=1時(shí)，（a1-1）（a1+3）=4a1，∴（a1+1）（a1-3）=0，又a1＞0，∴a1=3．
所以，數(shù)是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ），a1=3，d=2，∴an=2n+1．
設(shè)，n∈N*；∵an=2n+1，∴
∴
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn==．
又∵，∴，
綜上所述：不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：本題考查裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和及利用定義證明等差數(shù)列．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）求證：an2=2Sn-an；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)bn=3n+（-1）n-1λ•2an（λ為非零整數(shù)，n∈N*）試確定λ的值，使得對(duì)任意n∈N*，都有bn+1＞bn成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，Sn是其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意n∈N*都有an2=2Sn-an．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若bn=（2n+1）2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)，bn=log2an，若數(shù)列{bn}滿足b2=0，bn+1=bn+log2p，其中p為正常數(shù)，且p≠1．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在正整數(shù)M，使得當(dāng)n＞M時(shí)，a1•a4•a7•…•a3n-2＞a16恒成立？若存在，求出使結(jié)論成立的p的取值范圍和相應(yīng)的M的最小值；若不存在，請說明理由；
（3）若p=2，設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意的n∈N*，都有c1bn+c2bn-1+c3bn-2+…+cnb1=-2n成立，問數(shù)列{cn}是不是等比數(shù)列？若是，請求出其通項(xiàng)公式；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，它的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)（an，Sn）在函數(shù)y=
1
8
x2+
1
2
x+
1
2
的圖象上，數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=
an+1
an
+
an
an+1
，其前n項(xiàng)和為Tn．
（1）求an；   
（2）求證：Tn-2n＜2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•江蘇一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)的和為Sn，對(duì)于任意正整數(shù)m，n，Sm+n=
2a2m(1+S2n)
-1恒成立．
（1）若a1=1，求a2，a3，a4及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）若a4=a2（a1+a2+1），求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列．

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