Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=t，且a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設(shè)b_n=log₃a_n+1，數(shù)列{

bn

an

}的前n項(xiàng)和T_n，證明T_n＜

9

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，由等比數(shù)列定義得到t的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得到新數(shù)列通項(xiàng)，再通過錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和，證出不等關(guān)系成立．

解答： 解：（Ⅰ）方法1：由題意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）
兩式相減得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n．
a_n+1=3a_n（n≥2）
所以當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是以3為公比的等比數(shù)列．
要使n∈N*時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，則只需

a2

a1

=

2t+1

t

=3⇒t=1
方法2：由題意，a₁=t，a₂=2S₁+1=2t+1，a₃=2S₂+1=2（a₁+a₂）+1=2（3t+1）+1=6t+3
要使{a_n}為等比數(shù)列，則有：a22=a1a3⇒(2t+1)2=t(6t+3)⇒4t²+4t+1=6t²+3t⇒2t²-t-1=0
解得t=1或t=-

1

2

（t=-

1

2

時(shí)，a₂=0，不合題意，舍去）
t=1時(shí)，q=3，an=3n-1，Sn=

1-3n

1-3

=

1

2

(3n-1)⇒2Sn+1=3n=an+1符合題意．
所以t=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知an=3n-1，b_n=log₃a_n+1=n．

bn

an

=

n

3n-1

=n•(

1

3

)n-1．
Tn=1+2×

1

3

+3×(

1

3

)2+4×(

1

3

)3+…+  n  ×  (

1

3

)n-1①

1

3

Tn=1×

1

3

+ 2×(

1

3

)2+3×(

1

3

)3+…+(n-1)×(

1

3

)n-1+n×(

1

3

)n②
①-②得

2

3

Tn=1+

1

3

+(

1

3

)2+(

1

3

)3+…+   (

1

3

)n-1-  n  ×  (

1

3

)n=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-  n  ×  (

1

3

)n．
故Tn=

9

4

-(

9

4

+

3

2

n)(

1

3

)n＜

9

4

．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，錯(cuò)項(xiàng)相減、不等式證明等，有一定的思維能力要求，屬于中檔題．