Question

20．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$．
（1）求角C；
（2）若c=2，求AB邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$，利用正弦定理可得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{sinA+sinB}{2sinC}$．化簡(jiǎn)可得$\sqrt{3}$sinC=1+cosC，$sin（C-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，即可得出．
（2）設(shè)中線CD=x，∠ADC=α，則∠CDB=π-α，在△ACD與△CDB中，分別利用余弦定理可得：a²+b²=2+2x²．另一方面，在△ABC中，利用余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，進(jìn)而得出．

解答 解：（1）∵sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{a+b}{2c}$，
由正弦定理可得：sin（A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{sinA+sinB}{2sinC}$．
∴$\sqrt{3}$sinAsinC+cosAsinC=sinA+sin（A+C），
化為$\sqrt{3}$sinC=1+cosC，
化為$sin（C-\frac{π}{6}）$=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴$C-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）設(shè)中線CD=x，∠ADC=α，則∠CDB=π-α，
在△ACD與△CDB中，分別利用余弦定理可得：
b²=1+x²-2xcosα，
a²=1+x²-2xcos（π-α），
相加可得：a²+b²=2+2x²．
另一方面，在△ABC中，利用余弦定理可得：2²=a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$，
化為a²+b²=4+ab≤$4+\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$，化為4＜a²+b²≤8
∴4＜2+2x²≤8．
解得1＜x≤$\sqrt{3}$．
∴AB邊上的中線長(zhǎng)的取值范圍是$（1，\sqrt{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．