Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=

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AD．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱PA的中點(diǎn)是E，求證：BE∥平面PCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證CD⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CD與平面PAC內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知PA⊥底面ABCD，則PA⊥CD，利用勾股定理可知AC⊥CD，PA∩AC=A，滿足定理?xiàng)l件；
（Ⅱ）欲證BE∥平面PCD，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證BE與平面PCD內(nèi)一直線平行，設(shè)側(cè)棱PD的中點(diǎn)為F，連接BE，EF，F(xiàn)C，易證四邊形BEFC為平行四邊形，則BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，滿足定理所需條件．

解答：解：
（Ⅰ）證明：因?yàn)椤螾AD=90°，所以PA⊥AD．
又因?yàn)閭?cè)面PAD⊥底面ABCD，
且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PA⊥底面ABCD．
而CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．
在底面ABCD中，因?yàn)椤螦BC=∠BAD=90°，AB=BC=

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AD，
所以AC=CD=

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AD，所以AC⊥CD．
又因?yàn)镻A∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）設(shè)側(cè)棱PD的中點(diǎn)為F，連接BE，EF，F(xiàn)C，
則EF∥AD，且EF=

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AD．
由已知∠ABC=∠BAD=90°，
所以BC∥AD．又BC=

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AD，
所以BC∥EF．且BC=EF．
所以四邊形BEFC為平行四邊形，所以BE∥CF．
因?yàn)锽E?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了線面垂直的判定、以及線面平行的判定，同時(shí)考查了空間想象能力，推理論證能力，屬于中檔題．