Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，若f（1）＜f(lg

1

x

)，則x的取值范圍為

(0，

1

10

)∪(10，+∞)

．

Answer 1

分析：分兩種情況討論：當(dāng)lg

1

x

＞0時(shí)，結(jié)合f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，直接由f（1）＜f（lg

1

x

）得1＜lg

1

x

；當(dāng)lg

1

x

＜0時(shí)，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，由f（1）＜f（lg

1

x

）得到f（1）＜f（-lg

1

x

），所以1＜-lg

1

x

．分別解所得的不等式，可得實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：①當(dāng)lg

1

x

＞0時(shí)，因?yàn)閒（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
所以f（1）＜f（lg

1

x

）等價(jià)于1＜lg

1

x

，解之得0＜x＜

1

10

；
②當(dāng)lg

1

x

＜0時(shí)，-lg

1

x

＞0，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
可得f（1）＜f（lg

1

x

）等價(jià)于f（1）＜f（-lg

1

x

），
再由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到1＜-lg

1

x

，即lg

1

x

＜-1，
解之得x＞10．
綜上所述，得x的取值范圍是(0，

1

10

)∪(10，+∞)．
故答案為：(0，

1

10

)∪(10，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題在已知抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的前提下，求解關(guān)于x的不等式，著重考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．