Question

19．已知函數(shù)f（x）=log_a（x-1），g（x）=log_a（3-x）（a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（2）探討H（x）=f（x-1）+g（x+1）的奇偶性；
（3）利用對數(shù)函數(shù)的單調性，討論不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)對數(shù)的定義，即可求出函數(shù)的定義域；
（2）先求出函數(shù)的定義域為空集，問題得以解決，
（3）分兩類討論，根據(jù)對數(shù)函數(shù)額單調性即可求出．

解答 解：（1）∵要使函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）=log_a（x-1）-log_a（3-x）有意義
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{3-x＞0}\end{array}\right.$，
解的1＜x＜3，
∴函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）的定義域為（1，3）；
（2）∵H（x）=f（x-1）+g（x+1），
∴H（x）=log_a（x-1-1）+g（x）=log_a（3-x-1）=log_a（x-2）+log_a（2-x），
∵$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解的H（x）定義域為∅，
∴H（x）=f（x-1）+g（x+1）為非奇非偶函數(shù)．
（3）∵不等式f（x）≥g（x），即 log_a（x-1）≥log_a（3-x），
∴當a＞1時，有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1＞3-x}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得 2＜x＜3．
當0，有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1＜3-x}\\{1＜x＜3}\end{array}\right.$，
解得 1＜x＜2．
綜上可得，當a＞1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（2，3）；
當＜a＜1時，不等式f（x）≥g（x）中x的取值范圍為（1，2）．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的定義域以及對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，屬于基礎題．