Question

設(shè)不等式2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0的解集為M，求當x∈M時函數(shù)f(x)=(log2

x

2

)(log2

x

8

)的最大、最小值．

Answer 1

考點：指、對數(shù)不等式的解法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：先求出對數(shù)不等式2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0的解集為M，然后根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)化簡函數(shù)f（x），利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，從而求出所求．

解答： 解：∵2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0，
∴(2log

1

2

x-1)(log

1

2

x-1)≤0，
解得：

1

2

≤log

1

2

x≤1，
∴

1

2

≤x≤

2

2

，即M=[

2

，2]，
∵f(x)=(log2

x

2

)(log2

x

8

)=(log2x)2-4log2x+3，
∴令t=log₂x，則t∈[-1，-

1

2

]，
∴y=（t-2）²-1，而y=（t-2）²-1在t∈[-1，-

1

2

]上單調(diào)遞減，
∴當t=-

1

2

時取最小值為

21

4

，當t=-1取最大值為8．

點評：本題主要考查了對數(shù)不等式的解法，以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，同時考查了運算求解的能力和換元的思想，屬于中檔題．