Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想出a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，分別令n=1，2，3，能求出a₂，a₃，a₄的值，根據(jù)前四項(xiàng)的值，總結(jié)規(guī)律能猜想出a_n的表達(dá)式．
（2）當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證猜相成立；再假設(shè)n=k時(shí)，猜想成立，由此推導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，由此利用數(shù)學(xué)歸納法能證明猜想成立．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a，${a_{n+1}}=\frac{1}{{2-{a_n}}}$，
∴a₂=$\frac{1}{2-a}$，
${a}_{3}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}$=$\frac{2-a}{3-2a}$，
a₄=$\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2a}}$=$\frac{3-2a}{4-3a}$．
由此猜想a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$．
（2）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，${a}_{n}=\frac{（1-1）-（1-2）a}{1-（1-1）a}$=a，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即${a}_{k}=\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}$，
則${a}_{k+1}=\frac{1}{2-\frac{（k-1）-（k-2）a}{k-（k-1）a}}$=$\frac{k-（k-1）a}{（k+1）-ka}$，成立，
由①②，得a_n=$\frac{（n-1）-（n-2）a}{n-（n-1）a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前四項(xiàng)的求法和通項(xiàng)公式的猜想及證明，是中檔題，解題時(shí)要注意遞推思想和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用．