Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝2x3﹣3ax2+1．

（1）若a＝﹣1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f（x）有且只有2個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（3）若函數(shù)y＝|f（x）|在[0，1]上的最小值是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），（0，+∞），減區(qū)間為（﹣1，0）

（2）1

（3）[1，+∞）

【解析】

(1)求出的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;

(2)通過(guò)討論的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性, 函數(shù)有且只有個(gè)不同的零點(diǎn)即可求得的值;

(3)通過(guò)討論的范圍,確定函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)在上的最小值是并結(jié)合圖像可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）時(shí)，．

當(dāng)，時(shí)，

,

當(dāng)時(shí)，，

故函數(shù)的增區(qū)間為，，減區(qū)間為．

（2），

①時(shí)，在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

②時(shí)，在，遞增，在遞減．

其圖象如下：

函數(shù)不存在2個(gè)不同的零點(diǎn)；

③時(shí)，在，遞增，在遞減．

其圖象如下：

只需，即可

綜上，函數(shù)有且只有個(gè)不同的零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的值為.

（3）①時(shí)，在上單調(diào)遞增，，不符合題意；

②時(shí)，在遞增，，不符合題意；

③時(shí)，在，遞增，在遞減．

圖象如下：

要使函數(shù)在上的最小值是，只需，,

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．