Question

若函數(shù)f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），非零向量

m

=（a，b），我們稱

m

為函數(shù)f（x）的“相伴向量”，f（x）為向量

m

的“相伴函數(shù)”．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2（ω＞0）的最小正周期為2π，求函數(shù)f（x）的“相伴向量”；
（Ⅱ）記向量

n

=（

3

，1）的“相伴函數(shù)”為g（x），將g（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象上所有點向左平移

2π

3

個單位長度，得到函數(shù)h（x），若h（2α+

π

3

）=

6

5

，α∈（0，

π

2

），求sinα的值；
（Ⅲ）對于函數(shù)φ（x）=sinxcos2x，是否存在“相伴向量”？若存在，求出φ（x）“相伴向量”；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（I）利用三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、“相伴向量”的定義即可得出；
（II）利用“相伴函數(shù)”的定義可得：g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，再利用三角函數(shù)的變換法則可得h(x)=2sin[

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]，化為h（x）=2cos

1

2

x．
由于h(2α+

π

3

)=

6

5

，可得cos(α+

π

6

)=

3

5

，利用α∈(0，

π

2

)，可得α+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)，進(jìn)而得到sin(α+

π

6

)=

4

5

，再利用sinα=sin[(α+

π

6

)-

π

6

]展開即可得出．
（III）若函數(shù)φ（x）=sinxcos2x存在“相伴向量”，則存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx對任意的x∈R都成立，通過對x取值即可判斷出．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx-2=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx-2=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)，
依題意得

2π

2ω

=2π，故ω=

1

2

．
∴f（x）=sinx+cosx，即f（x）的“相伴向量”為（1，1）．
（Ⅱ）依題意，g(x)=

3

sinx+cosx=2sin(x+

π

6

)，
將g（x）圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)y=2sin(

1

2

x+

π

6

)，
再將所得的圖象上所有點向左平移

2π

3

個單位長度，得到h(x)=2sin[

1

2

(x+

2π

3

)+

π

6

]，即h(x)=2sin(

1

2

x+

π

2

)=2cos

1

2

x，
∵h(2α+

π

3

)=

6

5

，∴cos(α+

π

6

)=

3

5

，
∵α∈(0，

π

2

)，∴α+

π

6

∈(

π

6

，

2π

3

)，∴sin(α+

π

6

)=

4

5

，
∴sinα=sin[(α+

π

6

)-

π

6

]=sin(α+

π

6

)cos

π

6

-cos(α+

π

6

)sin

π

6

=

4 3 -3

10

．
（Ⅲ）若函數(shù)φ（x）=sinxcos2x存在“相伴向量”，
則存在a，b，使得sinxcos2x=asinx+bcosx對任意的x∈R都成立，
令x=0，得b=0，
因此sinxcos2x=asinx，即sinx=0或cos2x=a，
顯然上式對任意的x∈R不都成立，
∴函數(shù)φ（x）=sinxcos2x不存在“相伴向量”．

點評：本題考查了三角函數(shù)基本關(guān)系式、倍角公式、兩角和差的正弦公式、三角函數(shù)的性質(zhì)、“相伴向量”的定義、“相伴函數(shù)”的定義、三角函數(shù)的變換方法、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、兩角和差的正弦公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．