Question

已知數(shù)列{}滿足＝2，對(duì)于任意的n∈N都有＞0，且　　　　    (n＋1)．又知數(shù)列

　　

(Ⅰ)求數(shù)列；

(Ⅱ)求數(shù)列；

(Ⅲ)猜想的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)∵＞0(n∈N)，(n＋1)＋＝0， 　　∴(n＋1)－n＝0． 　　∴．∵＞0，∴． 　　 　　∴ 　　 　　∴ 　　∴又＝2，∴＝2n． 　　∴＝2(1＋2＋3＋＋…＋n) 　　    ＝． 　　(Ⅱ)∵＋1， 　　∴＋n 　　　　 ＝＋n 　　　　 ＝＋n－1． 　　(Ⅲ)． 　　當(dāng)n＝1時(shí)，＝0，∴； 　　當(dāng)n＝2時(shí)，－1＝－1＜0，∴； 　　當(dāng)n＝3時(shí)，－1＝－2＜0，∴； 　　當(dāng)n＝4時(shí)，－1＝－1＜0，∴； 　　當(dāng)n＝5時(shí)，－1＝6＞0，∴； 　　當(dāng)n＝6時(shí)，－1＝27＞0，∴； 　　猜想，當(dāng)n≥5時(shí)，． 　　即－1＞0．亦即＋1． 　　下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 　　當(dāng)n＝5時(shí)，前面已驗(yàn)證成立； 　　假設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)，＋1成立，那么當(dāng)n＝k＋1(k≥5)時(shí)， 　　＋2 　　    ≥＋5k＋2 　　    ＞＋2k＋2 　　    ＝＋1． 　　∴當(dāng)n＝k＋1(k≥5)時(shí)，＋1也成立． 　　由以上可知，當(dāng)n≥5時(shí)，有；當(dāng)n＝1時(shí)，； 　　當(dāng)2≤n＜5時(shí)，．