Question

動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）和定直線x=3的距離之和為4；
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）過點(diǎn)F做斜率為k的直線交P點(diǎn)的軌跡于AB兩點(diǎn)|AB|=f（k），求f（k）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)條件動(dòng)點(diǎn)P到定直線l：x=3與到定點(diǎn)F（1，0）的距離之和為4，由此等量關(guān)系建立方程求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），易求得曲線y²=4x與曲線y²=-12（x-4）的交點(diǎn)為(3，2

3

)和(3，-2

3

)，從而可得到，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時(shí)，|k|≥

3

；當(dāng)點(diǎn)A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點(diǎn)B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時(shí)，|k|≤

3

．進(jìn)而分類討論即可．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），由題意有

(x-1)2+y2

+|x-3|=4
當(dāng)x≥3時(shí)，有

(x-1)2+y2

+x-3=4，整理得y²=-12（x-4）；
當(dāng)x＜3時(shí)，有

(x-1)2+y2

-x+3=4，整理得y²=4x
故點(diǎn)P的軌跡方程為y2=

4x(0≤x＜3) -12(x-4)(3≤x≤4)

（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），易求得曲線y²=4x與曲線y²=-12（x-4）的交點(diǎn)為(3，2

3

)和(3，-2

3

)，從而可得到，當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時(shí)，|k|≥

3

；當(dāng)點(diǎn)A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點(diǎn)B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時(shí)，|k|≤

3

．
（i）當(dāng)A、B兩點(diǎn)都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時(shí)，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，故x1+x2=-2+

4

k2

于是，|AB|=f(x)=2+x1+x2=4+

4

k2

(|k|≥

3

)，所以f(k)≤

16

3

，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

3

時(shí)取等號(hào)．
（ii）當(dāng)點(diǎn)A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點(diǎn)B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時(shí)，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)0＜|k|≤

3

時(shí)，由

y2=4x y=k(x-1)

，解得x1=1+

2-2 k2+1

k2

由

y2=-12(x-4) y=k(x-1)

，解得x2=1+

6 k2+1 -6

k2

因?yàn)榍�線y²=4x（0≤x≤3）的準(zhǔn)線為x=-1，焦點(diǎn)為F（1，0），曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）的準(zhǔn)線為x=7，焦點(diǎn)為F（1，0），所以|FA|=x₁+1，|FB|=7-x₂，所以|AB|=f(k)=|FA|+|FB|=8+x1-x2=8+

8-8 k2+1

k2

(0＜|k|≤

3

)
故f(k)≤

16

3

，當(dāng)且僅當(dāng)|k|=

3

時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)k=0時(shí)，易知|AB|=4．
綜上知，f（k）的最大值為

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題以軌跡方程為載體，考查求軌跡方程，同時(shí)考查直線與曲線的位置關(guān)系．解題的關(guān)鍵是理解題意，找出等量關(guān)系，從而建立起關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)的方程，這是求軌跡方程時(shí)常用方法，也是一個(gè)常規(guī)方法，應(yīng)總結(jié)此方法的步驟規(guī)律