Question

在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0 （n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃與a₅的等比中項(xiàng)為2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）將數(shù)列的已知條件利用等比數(shù)列的性質(zhì)，用解方程組求出a₃，a₅，進(jìn)而求出首項(xiàng)與公比，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而通過b_n的正負(fù)來尋找T_n與S_n的關(guān)系．

解答：解：（1）∵{a_n} 為等比數(shù)列，∴a1a5=a32，a2a8=a52，
∴由題意得a32+2a3a5+a52=25，
即(a3+a5)2=25，∴a₃+a₅=±5，
又∵a_n＞0，∴a₃+a₅＞0，∴a₃+a₅=5，
又 與a₅ 的等比中項(xiàng)為2．∴a₃a₅=4，
∴a₃=1，a₅=4 或a₃=4，a₅=1，
又∵q∈（0，1），∴a₃=4，a₅=1，q2=

1

4

，即q=

1

2

，
∴a₁=16，
∴an=a1qn-1=16(

1

2

)n-1=(

1

2

)n-5=25-n．
（2）b_n=log₂a_n=5-n，
∵b_n+1-b_n=-1，
∴{b_n} 是等差數(shù)列，則其前n 的和為Sn=-

1

2

n2+

9

2

n 

又∵當(dāng)n≤5，n∈N^*時(shí)，b_n≥0；
當(dāng)n＞5，n∈N^*時(shí)，b_n＜0，
∴當(dāng)n≤5，n∈N^*時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+…+b_n 
=Sn=-

1

2

n2+

9

2

n，
當(dāng)n＞5，n∈N^*時(shí)，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅-b₆-b₇-…-b_n 
=S₅-（S_n-S₅）=2S₅-S_n 
=

1

2

n2-

9

2

n+20 
∴T_n=

- 1 2 n2+ 9 2 n，(n≤5) 1 2 n2- 9 2 n+20，(n＞5)

，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng)：解決等比數(shù)列、等差數(shù)列兩個(gè)特殊數(shù)列的有關(guān)問題，常利用它們的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出方程組，通過解方程組求出通項(xiàng)和公差、公比再求其他量即可，屬中檔題．