Question

5．任意四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，若$\overrightarrow{EF}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{DC}$，則λ+μ=1．

Answer 1

分析 可畫出圖形，取AB中點(diǎn)G，并連接EG，F(xiàn)G，從而EG，F(xiàn)G為兩條中位線，從而可得到$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GE}$，根據(jù)中位線的性質(zhì)及向量加法的幾何意義即可得出$\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，從而根據(jù)平面向量基本定理即可得出λ+μ=1．

解答 解：如圖，取AB邊中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則：

∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)；
∴$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GF}-\overrightarrow{GE}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}）$$-\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$；
又$\overrightarrow{EF}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{DC}$；
∴$λ=\frac{1}{2}，μ=\frac{1}{2}$；
∴λ+μ=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 考查向量減法、加法和數(shù)乘的幾何意義及其運(yùn)算，三角形中位線的性質(zhì)，以及平面向量基本定理．