Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）寫出函數(shù)f（x）的值域；
（3）判斷f（x）的奇偶性，并加以證明；
（4）判斷f（x）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)，可得函數(shù)f（x）的定義域；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，即可寫出函數(shù)f（x）的值域；
（3）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的定義加以證明；
（4）f（x）是R上的增函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的方法加以證明．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R；
（2）f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$∈（-1，1），∴函數(shù)f（x）的值域是（-1，1）；
（3）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，證明如下：
函數(shù)f（x）的定義域為R，f（-x）=$\frac{{3}^{-x}-1}{{3}^{-x}+1}$=$\frac{1-{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（4）f（x）是R上的增函數(shù)，證明如下：
∵f（x）=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{3}^{x}+1}$，∴f′（x）=$\frac{2ln3•{3}^{x}}{（{3}^{x}+1）^{2}}$＞0，
∴f（x）是R上的增函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的結(jié)合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．