Question

水土流失是我國西部大開發(fā)中最突出的問題，全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林，其中西部占70%，2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%．
（1）試問，從2002年起到哪一年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題？
（2）為支持退耕還林工作，國家財政補助農民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計算，并且每畝退耕地每年補助20元，試問到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題時，國家財政共需支付約多少億元？

Answer 1

分析：（1）設設2002年起經x年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題，即x年中退耕還林的累加量等于全國9100萬畝坡度為25°以上的坡耕地需退耕還林的70%，由2002年國家確定在西部地區(qū)退耕還林面積為515萬畝，以后每年退耕土地面積遞增12%，我們不難構造方程，解方程即可得到結論．
（2）由（1）的結論，結合國家財政補助農民每畝300斤糧食，每斤糧食按0.7元計算，并且每畝退耕地每年補助20元，我們易求出每一年國家財政支付資金，累加后，即可得到答案．

解答：解：（1）設2002年起經x年西部地區(qū)基本上解決退耕還林問題．
依題意，得：
515+515×（1+12%）+515×（1+12%）²+…+515×（1+12%）^x-1=9100×70%
即：515×[1+（1+12%）+（1+12%）²+…+（1+12%）^x-1]=6370
即

1-1.12x-1×1.12

1-1.12

=

6370

515

?

1.12x-1

0.12

=

1274

103

整理得：1.12x≈2.4843?x≈log1.122.4843=

lg2.4843

lg1.12

≈

0.3592

0.0492

≈8.03
又x∈N，故從2002年起到2009年年底西部地區(qū)基本解決退耕還林問題
（2）設到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題國家共需支付y億元．
首批退耕地國家應支付：515×10⁴×（300×0.7+20）×8，
第二批退耕地國家應支付：515×10⁴×（1+12%）×（300×0.7+20）×7，
第三批退耕地國家應支付：515×10⁴×（1+12%）²×（300×0.7+20）×6，
…
最后一批退耕地國家應支付：515×10⁴×（1+12%）⁷×（300×0.7+20）×1，y=

515×104×(300×0.7+20)×(8+7×1.12+6×1.122++1×1.127)

108

令S=8+7×1.12+6×1.12²++1×1.12⁷①
1.12S=8×1.12+7×1.12²+6×1.12³++1×1.12⁸②
②-①得：0.12S=-8×（1.12+1.12²+1.12³++1.12⁷）+1×1.12⁸0.12S=-8+

1.12-1.128×1.12

1-1.12

=-8+

1.129-1.12

0.12

≈-8+

2.773-1.12

0.12

解得：S≈48.1，故：y≈（515×10⁴×230×48.1）÷10⁸≈569.7（億元）
答：到西部地區(qū)基本解決退耕還林問題國家共需支付約570億元．

點評：在不等式的實際應用中，我們要經過析題→建�！�解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮，如本題中，得x≈8.03，考慮到n∈N^*，∴取x=8