Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=x²﹣2x．
（1）設(shè)h（x）=f（x+1）﹣g'（x）（其中g(shù)'（x）是g（x）的導(dǎo)函數(shù)），求h（x）的最大值；
（2）證明：當(dāng)0＜b＜a時(shí)，求證：f（a+b）﹣f（2b）＜；
（3）設(shè)k∈Z，當(dāng)x＞1時(shí)，不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g'（x）+4恒成立，求k的最大值．

Answer 1

解：（1）h（x）=f（x+1）﹣g'（x）=ln（x+1）﹣x+2，x＞﹣1，
所以 h'（x）=﹣1=．
當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h'（x）＞0；
當(dāng)x＞0時(shí)，h'（x）＜0．
因此，h'（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
因此，當(dāng)x=0時(shí)h（x）取得最大值h（0）=2；
（2）證明：當(dāng)0＜b＜a時(shí)，﹣1＜＜0，
由（1）知：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）＜2，即ln（x+1）＜x．
因此，有f（a+b）﹣f（2a）=ln=ln（1+）＜．
（3）不等式k（x﹣1）＜xf（x）+3g'（x）+4
化為k＜+2
所以k＜+2
對(duì)任意x＞1恒成立．
令g（x）=+2，則g'（x）=，
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），則 h'（x）=1﹣=＞0，
所以函數(shù)h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
因?yàn)閔（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一實(shí)根x₀，且滿足x₀∈（3，4）．
當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，
所以函數(shù)g（x）=+2在（1，x₀）上單調(diào)遞減，在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增．
所以[g（x）]_min=g（x₀）=+2=+2=x₀+2∈（5，6）．
所以k＜[g（x）]_min=x₀+2∈（5，6）．k的最大值是5．