過(guò)點(diǎn)P（1，0）作曲線C：y=xk（x∈（0，+∞），k＞1）的切線，切點(diǎn)為Q1，設(shè)點(diǎn)Q1在x軸上的投影是點(diǎn)P1；又過(guò)點(diǎn)P1作曲線C的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)點(diǎn)Q2在x軸上的投影是點(diǎn)P2；…依次下去，得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，…Qn，…，設(shè)點(diǎn)Qn的橫坐標(biāo)為an．
（Ⅰ）求證：an=(
k
k-1
)n，n∈N*；
（Ⅱ）求證：an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）求證：
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
…+
n
an
＜k2-k．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）對(duì)函數(shù)y=xk求導(dǎo)，求出過(guò)曲線上的點(diǎn)Qn的切線方程，結(jié)合其投影點(diǎn)求得數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
k
k-1
，公比為
k
k-1
的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（Ⅱ）把數(shù)列的通項(xiàng)公式變形，運(yùn)用二項(xiàng)式定理放縮證明an≥1+
n
k-1
；
（Ⅲ）由錯(cuò)位相減法求出
1
a1
+
2
a2
+…+
n
an
，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明答案．
解答： 證明：（Ⅰ）對(duì)y=xk求導(dǎo)數(shù)，
得y′=kxk-1，
點(diǎn)Qn（an，ank）的切線方程是y-ank=kank-1（x-an）．
當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P1（1，0），
即0-a1k=ka1k-1（1-a1），
得a1=
k
k-1
；
當(dāng)n＞1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)Pn-1（an-1，0），
即0-ank=kank-1（an-1-an），
得
an
an-1
=
k
k-1
．
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1=
k
k-1
，公比為
k
k-1
的等比數(shù)列，
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=(
k
k-1
)n，n∈N*；
（ II）應(yīng)用二項(xiàng)式定理，得an=(
k
k-1
)n=(1+
1
k-1
)n
=
C
0
n
+
C
1
n
•
1
k-1
+
C
2
n
•(
1
k-1
)2+…+
C
n
n
•(
1
k-1
)n＞1-
n
k-1
； 
（ III）an=(
k
k-1
)n，
令q=
k
k-1
，則an=qn，
Sn=
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
+…+
n
an
=
1
q
+
2
q2
+…+
n
qn
，
qSn=
1
q2
+
2
q3
+…+
n
qn+1
，
兩式相減，得
1
2
Sn=
1
q
+
1
q2
+…+
1
qn
-
n
qn+1
=
1
q
(1-
1
qn
)
1-
1
q
-
n
qn+1
，
∴Sn=q-
n+q
qn
，
則Sn=
k
k-1
-
n+
k
k-1
(
k
k-1
)n
．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當(dāng)n=1時(shí)，Sn=
k-1
k
＜k2-k(k＞1)；
假設(shè)n=m時(shí)結(jié)論成立，即
1
a1
+
2
a2
+…+
m
am
＜k2-k，
則當(dāng)n=m+1時(shí)，
1
a1
+
2
a2
+…+
m
am
+
m+1
am+1
＜k2+k+
m+1
(
k
k+1
)m+1

=k2+k+(m+1)(1+
1
k
)m+1＜k2+3k+2=（k+1）2+k+1．
綜上，
1
a1
+
2
a2
+
3
a3
…+
n
an
＜k2-k．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用放縮法和數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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（2）記Tn為數(shù)列{
1
an•an+1
}的前n項(xiàng)和，若Tn≤λan+1對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．

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某志愿者到某山區(qū)小學(xué)支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對(duì)某班40名學(xué)生進(jìn)行了一次幸福指數(shù)的調(diào)查問(wèn)卷，并用莖葉圖表示如下（注：圖中幸福指數(shù)低于70，說(shuō)明孩子幸福感弱；幸福指數(shù)不低于70，說(shuō)明孩子幸福感強(qiáng)）．
（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為孩子的幸福感強(qiáng)與是否是留守兒童有關(guān)？
幸福感強(qiáng)幸福感弱合 計(jì)
留守兒童
非留守兒童
合 計(jì)
（Ⅱ）從15個(gè)留守兒童中按幸福感強(qiáng)弱進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行家訪，求這2個(gè)學(xué)生中恰有一人幸福感強(qiáng)的概率．
參考公式：Χ2=
n(n11n22-n12n21)2
n1+n2+n+1n+2
；  附表：
P（x2≥k）0.0500.010
k3.8416.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓C的離心率為
1
2
，它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y2=-4x的焦點(diǎn)重合，
（1）求橢圓C的方程；
（2）過(guò)直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B，求證：AB過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F；（可用結(jié)論：橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1上點(diǎn)P（x0，y0）處切線方程：
x0x
a2
+
y0y
b2
=1）
（3）在（2）的條件下，是否存在λ，使得λ|AF|•|BF|=|AF|+|BF|恒成立？若存在，求λ的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知cosα=-
3
5
，且tanα＞0．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求
tanαcos3α
1-sinα
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

函數(shù)f（x）=2x+
1
x
（x≥
1
2
）的值域?yàn)?div id="yjchvvn" class='quizPutTag' contenteditable='true'> 
．

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