如圖，正三棱錐ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側棱長為
2
a，M是A1B1的中點．
（I）求證：
MC1
是平面ABB1A1的一個法向量；
（II）求AC1與側面ABB1A1所成的角．
分析：（I）以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，
AB
方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠證明
MC1
是平面ABB1A1的一個法向量；
（II）由
AC1
=(
a
2
，
3
a
2
，
2
a)，
MC1
•
AC1
=(0，
3
2
a，0)•(
a
2
，
3
a
2
，
2
a)=
3
4
a2，|
MC1
|=
3
2
a，|
AC1
|=
3
a，能夠求出AC1與側面ABB1A1所成的角．
解答：解：（I）如圖，以點A為坐標原點，平面ABC為xoy平面，
AB
方向為x軸正方向，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（a，0，0），B1(a，0，
2
a)，
M（
a
2
，0，
2
a)，C1(
a
2
，
3
a
2
，
2
a)
所以
AB
=（a，0，0），
BB1
=(0，0，
2
a)，
MC1
=(0，
3
2
a，0)．…（5分）
因為
MC1
•
AB
=0，
MC1
•
BB1
=0，
所以MC1⊥AB，MC1⊥BB1，
從而MC1⊥平面ABB1A1．
故
MC1
是平面ABB1A1的一個法向量．…（9分）
（II）
AC1
=(
a
2
，
3
a
2
，
2
a)．
因為
MC1
•
AC1
=(0，
3
2
a，0)•(
a
2
，
3
a
2
，
2
a)=
3
4
a2，
又因為|
MC1
|=
3
2
a，|
AC1
|=
3
a，
所以cos＜
MC1
，
AC1
＞=
1
2
，即＜
MC1
，
AC1
＞=60°．…（13分）
故AC1與側面ABB1A1所成的角為30°．…（14分）
點評：本題考查平面的法向量的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．
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如圖，正三棱錐ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，D是BC的中點，點P在平面BCC1B1內(nèi)，PB1=PC1=
2
．
（I）求證：PA1⊥B1C1；
（II）求證：PB1∥平面AC1D；
（III）求多面體PA1B1DAC1的體積．

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