Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+3．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-2，2]時，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若對一切a∈[-3，3]，f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）≥a對x∈[-2，2]恒成立，令g（x）=f（x）-a=x²+ax+3-a，即求g（x）_min≥0，根據(jù)二次函數(shù)g（x）的對稱軸為x=-

a

2

與區(qū)間[-2，2]的位置關(guān)系，可以分成三種情況討論，利用開口向上的二次函數(shù)離對稱軸越近函數(shù)值越小，即可得到g（x）_min，從而得到實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）f（x）≥a對一切a∈[-3，3]恒成立，即x²+ax+3-a≥0對一切a∈[-3，3]恒成立，令h（a）=（x-1）a+x²+3，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于x的不等關(guān)系式組，求解不等式組，即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+ax+3，
∴f（x）≥a對x∈[-2，2]恒成立，即f（x）-a≥0對x∈[-2，2]恒成立，
令g（x）=x²+ax+3-a，
∴g（x）_min≥0，
g（x）的對稱軸為x=-

a

2

，
根據(jù)對稱軸與區(qū)間[-2，2]的位置關(guān)系，分以下三種情況討論g（x）_min：
①當(dāng)-

a

2

≤-2，即a≥4時，
∵g（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（-2）=7-3a，
∴

a≥4 7-3a≥0

，
∴a無解；
②當(dāng)-

a

2

≥2時，即a≤-4時，
∵g（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_min=g（2）=7+a，
∴

a≤-4 7+a≥0

，解得-7≤a≤-4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-7≤a≤-4；
③當(dāng)-2＜-

a

2

＜2，即-4＜a＜4時，
∴g(x)min=g(-

a

2

)=-

a2

4

-a+3，
∴

-4＜a＜4 - a2 4 -a+3≥0

，解得-4＜a≤2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為-4＜a≤2．
綜合①②③可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-7≤a≤2；
（Ⅱ） f（x）≥a對一切a∈[-3，3]恒成立，且f（x）=x²+ax+3，
∴x²+ax+3-a≥0對一切a∈[-3，3]恒成立，
令h（a）=（x-1）a+x²+3，
要使h（a）≥0在區(qū)間[-3，3]恒成立，
則

h(-3)≥0 h(3)≥0

，即

x2-3x+6≥0 x2+3x≥0

，解得x≥0或x≤-3，
∴實(shí)數(shù)x的取值范圍是（-∞，-3]∪[0，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．對于函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．本題選用了最值法求解，即求二次函數(shù)的最值．二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行求解．屬于中檔題．