Question

在邊長為2的正方形ABCD邊上有點(diǎn)P，沿著折線BCDA由點(diǎn)B（起點(diǎn)）向A（終點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)（不包括B、A兩點(diǎn)），設(shè)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△PAB的面積為y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱？若不存在，則說明理由；若存在，則寫出a的值．

Answer 1

分析：（1）由于x=0與x=6時(shí)，三點(diǎn)A、B、P不能構(gòu)成三角形，故這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，6）．利用三角形的面積公式能夠求出當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=f（x）=

1

2

•2•x=x；當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=f（x）=2；當(dāng)4＜x＜6時(shí)，y=f（x）=

1

2

•2•（6-x）=6-x．由此能夠求出這個(gè)函數(shù)的解析式．
（2）結(jié)合f（x）的解析式，利用描點(diǎn)法作圖，能夠得到其圖象．
（3）結(jié)合f（x）的圖象能夠示出a的值．

解答：解：（1）由于x=0與x=6時(shí)，三點(diǎn)A、B、P不能構(gòu)成三角形，故這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，6）．
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=f（x）=

1

2

•2•x=x；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=f（x）=2；
當(dāng)4＜x＜6時(shí)，y=f（x）=

1

2

•2•（6-x）=6-x．
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為
f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

．
（2）結(jié)合f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

．
作出其圖象如下：

（3）結(jié)合f（x）=

x，x∈(0，2] 2，x∈(2，4] 6-x，x∈(4，6)

的圖象知，
函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱．
∴a=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求法、函數(shù)圖象的畫法和函數(shù)對(duì)稱軸的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分段函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用．