Question

由倍角公式cos2x=2cos²x-1，可知cos2x可以表示為cosx的二次多項式．對于cos3x，我們有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos²x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos³x-cosx-2（1-cos²x）cosx
=4cos³x-3cosx
可見cos3x可以表示為cosx的三次多項式．一般地，存在一個n次多項式P_n（t），使得cosnx=P_n（cosx），這些多項式P_n（t）稱為切比雪夫多項式．
（I）求證：sin3x=3sinx-4sin³x；
（II）請求出P₄（t），即用一個cosx的四次多項式來表示cos4x；
（III）利用結(jié)論cos3x=4cos³x-3cosx，求出sin18°的值．

Answer 1

（I）證明：∵sin3x=-cos(

3π

2

-3x)=-cos[3(

π

2

-x)]=-[4cos3(

π

2

-x)-3cos(

π

2

-x)]
=-（4sin³x-3sinx）=3sinx-4sin³x，故等式成立．
（II）cos4x=cos（2•2x）=2cos²2x-1=2（2cos²x-1）²-1=2（4cos⁴x-4cos²x+1）-1
=8cos⁴x-8cos²x+1．
（III）∵sin36°=cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos³18°-3cos18°，
∴4sin²18°+2sin18°-1=0，∴sin18°=

5 -1

4

．