Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-x+2，（a∈R）
（1）若f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，求a的最大值；
（2）若f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

3

，1)，求函數(shù)y=f（x）圖象過(guò)點(diǎn)（1，1）的切線與兩坐標(biāo)軸圍成圖形的面積．

Answer 1

（1）f′（x）=3x²+2ax-1，由題意可知，f′（x）在（0，1）上恒有f′（x）≤0，則f′（0）≤0且f′（1）≤0，得a≤-1，所以a的最大值為-1 …．（5分）
（2）∵f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

1

3

，1)，∴f′（x）=3x²+2ax-1=0的兩個(gè)根為 -

1

3

和1，
可求得a=-1，∴f（x）=x³-x²-x+2，
①若（1，1）不是切點(diǎn)，則設(shè)切線的切點(diǎn)為（x₀，y₀），（x₀≠1），則有

y0-1

x0-1

=3

x

20

-2x0-1y₀=3x₀²-2x₀-1，解得x₀=1（舍），x₀=0，∴y₀=2，k=-1
②若（1，1）是切點(diǎn)，則k=f′（1）=0
綜上，切線方程為y=1，x+y-2=0∴這兩條切線方程與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形為直角梯形
它的面積S=

1

2

(1+2)=

3

2

…..（13分）