Question

20．設(shè)x為實數(shù)，[x]為不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，如[2.66]=2，[-2.66]=-3．記{x}=x-[x]，則{x}的取值范圍為[0，1）．現(xiàn)定義無窮數(shù)列{a_n}如下：a₁={a}，當(dāng)a_n≠0時，a_n+1=$\{\frac{1}{a_n}\}$；當(dāng)a_n=0時，a_n+1=0．當(dāng)$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$時，對任意的自然數(shù)n都有a_n=a，則實數(shù)a的值為$\sqrt{2}-1$．

Answer 1

分析 通過$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$計算數(shù)列{a_n}的前幾項，結(jié)合對任意的自然數(shù)n都有a_n=a，從而得出關(guān)于a的方程，即可求出實數(shù)a的值．

解答 解：∵$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$，∴2≤a＜3，
∴a₁={a}=a，
a₂={$\frac{1}{a}$}=$\frac{1}{a}$-2，
∵當(dāng)$\frac{1}{3}＜a≤\frac{1}{2}$時，對任意的自然數(shù)n都有a_n=a，
∴a=$\frac{1}{a}$-2，即a²+2a-1=0，
∴a=$\sqrt{2}-1$或a=-$\sqrt{2}-1$（不合2≤a＜3，舍去），
故答案為：$\sqrt{2}-1$．

點評 本題考查的是取整函數(shù)、數(shù)列的函數(shù)特性．解答此題的關(guān)鍵是計算數(shù)列的前幾項，進(jìn)而得到關(guān)于未知數(shù)的方程，利用方程思想求解．注意解題方法的積累，屬于中檔題．