精英家教網(wǎng)如圖，在△OAB中，
OC
=
1
3
OA
，
OD
=
1
2
OB
，AD與BC交于點M，
設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，
（1）試用向量
a
和
b
表示
OM
；
（2）在線段AC上取一點E，線段BD上取一點F，使EF過M點，
OE
=λ
OA
，
OF
=μ
OB
，求證：
1
λ
+
2
μ
=5．
分析：由A，M，D三點共線可得存在實數(shù)t使得
OM
=t
OA
+(1-t)
OD
=t
a
+（1-t）•
1
2
b
=
1-t
2
b
+t
a

同理由C，M，B三點共線可得存在實數(shù)λ使得
OM
=λ
OB
+(1-λ)
OC
=λ
b
+
1-λ
3
a
，根據(jù)向量的基本定理可建立關(guān)于t，λ的方程，求解即可
（2）設(shè)
OM
=x
OE
+y
OF
=xλ
a
+yμ
b
由（1）可得
xλ=
1
5
yμ=
2
5
x+y=1
，從而可求
解答：解：（1）∵
OA
=
a
，
OB
=
b

由A，M，D三點共線可得存在實數(shù)t使得
OM
=t
OA
+(1-t)
OD
=t
a
+（1-t）•
1
2
b
=
1-t
2
b
+t
a

同理由C，M，B三點共線可得存在實數(shù)λ使得
OM
=λ
OB
+(1-λ)
OC
=λ
b
+
1-λ
3
a

∴
λ=
1-t
2
t=
1-λ
3
∴λ=
2
5
，t=
1
5

∴
OM
=
1
5
a
+
2
5
b

（2）設(shè)
OM
=x
OE
+y
OF
=xλ
a
+yμ
b

xλ=
1
5
yμ=
2
5
x+y=1
?
x=
1
5λ
y=
2
5μ
x+y=1
?
1
λ
+
2
μ
=5
點評：本題主要考查了平面向量的共線定理的應(yīng)用：若A，B，C三點共線，O為直線外一點?存在實數(shù)λ，μ使得
OC
=λ
OA
+μ
OB
，且λ+μ=1；還考查了向量的基本定理的應(yīng)用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•杭州二模）如圖，在△OAB中，C為OA上的一點，且
OC
=
2
3
OA
，D是BC的中點，過點A的直線l∥OD，P是直線l上的任意點，若
OP
=λ1
OB
+λ2
OC
，則λ1-λ2=
-
3
2
-
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，已知|O
A
| =2，|O
B
| =2
3
，∠AOB=90°，單位圓O與OA交于C，A
D
=λ
B
，λ∈(0，1)，P為單位圓O上的動點．
（1）若O
C
+O
P
=O
D
，求λ的值；
（2）記|P
D
|的最小值為f（λ），求f（λ）的表達式及f（λ）的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC=BA，在OB上取點D，使DB=
1
3
OB，DC與OA交于E，設(shè)
OA
=
a
，
OB
=
b
，用
a
，
b
表示向量
OC
，
DC
，
DE
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在△OAB中，已知P為線段AB上的一點，且|
AP
|=2|
PB
|．
（Ⅰ）試用
OA
，
OB
表示
OP
；
（Ⅱ）若|
OA
|=3，
|OB|
=2，且∠AOB=60°，求
OP
•
AB
的值．

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