【題目】若定義在上的函數(shù)滿足:對任意的,當時,都有,則稱是“非減函數(shù)”.
(1)若是“非減函數(shù)”,求的取值范圍;
(2)若為周期函數(shù),且為“非減函數(shù)”,證明是常值函數(shù);
(3)設恒大于零,是定義在R上、恒大于零的周期函數(shù),是的最大值。函數(shù)。證明:“是周期函數(shù)”的充要條件“是常值函數(shù)”.
【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析
【解析】
(1)直接由求得的取值范圍;
(2)用反正法證明,如果函數(shù)不是常函數(shù),即函數(shù)可能是單調遞增函數(shù)、或者部分單調遞增部分常值。利用函數(shù)的周期性和不遞減的性質,即可證明結論與假設矛盾,即假設不成立,是常值函數(shù)。
(3)首先證明充分性,是很顯然的,的周期性與一樣。然后再證明必要性,利用(2)的結論即可得證。
(1)由得,
,得。
故的取值范圍是
(2)假設不是常值函數(shù),并且周期為。令,且存在一個使得。由于的性質可知,,且。
因為為周期函數(shù),所以,這與前面的結論矛盾,所以假設不成立,即是常值函數(shù)
(3)充分性證明:當是常值函數(shù)時,令,即,因為是周期函數(shù),所以也是周期函數(shù)。
必要性證明:當是周期函數(shù)時,令周期為,即,則,又因為是周期函數(shù),所以,即可得到,所以是周期函數(shù),由(2)的結論可知,是常值函數(shù)。
綜上所述,是周期函數(shù)的充要條件是是常值函數(shù)。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)f(x)=e|lnx|(e為自然對數(shù)的底數(shù)).若x1≠x2且f(x1)=f(x2),則下列結論一定不成立的是( )
A.x2f(x1)>1
B.x2f(x1)=1
C.x2f(x1)<1
D.x2f(x1)<x1f(x2)
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【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a1 , a3 , a13成等比數(shù)列,若a1=1,Sn是數(shù)列{an}前n項的和,則 (n∈N+)的最小值為( )
A.4
B.3
C.2 ﹣2
D.
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【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的中心在原點,焦點在x軸上,焦距為2,且與橢圓x2+ =1有相同離心率,直線l:y=kx+m與橢圓C交于不同的A,B兩點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若在橢圓C上存在點Q,滿足 ,(O為坐標原點),求實數(shù)λ取值范圍.
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【題目】設拋物線的準線與軸交于,拋物線的焦點,以為焦點,離心率的橢圓與拋物線的一個交點為;自引直線交拋物線于兩個不同的點,設.
(1)求拋物線的方程及橢圓的方程;
(2)若,求的取值范圍.
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【題目】已知圓錐曲線 E: .
(I)求曲線 E的離心率及標準方程;
(II)設 M(x0 , y0)是曲線 E上的任意一點,過原點作⊙M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8的兩條切線,分別交曲線 E于點 P、Q.
①若直線OP,OQ的斜率存在分別為k1 , k2 , 求證:k1k2=﹣ ;
②試問OP2+OQ2是否為定值.若是求出這個定值,若不是請說明理由.
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【題目】已知四面體P﹣ABC中,PA=4,AC=2 ,PB=BC=2 ,PA⊥平面PBC,則四面體P﹣ABC的外接球半徑為( )
A.2
B.2
C.4
D.4
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)設.①若,則,滿足什么條件時,曲線與在x=0處總有相同的切線?②當a=1時,求函數(shù)單調區(qū)間;
(2)若集合為空集,求ab的最大值.
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