Question

（2012•許昌一模）已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽的充要條件是（　�。�

A．?x₀∈R，ax₀²≥bx₀+c

B．?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c

C．?x∈R，ax²≥bx+c

D．?x∈R，ax²≤bx+c

Answer 1

分析：已知a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽，就是g（x）=ax²+ax+1的值域?yàn)閇0，+∞），本題中函數(shù)f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽故內(nèi)層函數(shù)的定義域不是全體實(shí)數(shù)，可由△≥0保障 f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽定義域不是全體實(shí)數(shù)，從而求出a的范圍；

解答：解：a＞0，則f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽，令g（x）=ax²-bx-c，
∴g（x）=ax²-bx-c的值域?yàn)閇0，+∞），
∴△=（-b）²-4a（-c）=b²+4ac≥0，
說明方程ax²-bx-c=0，有實(shí)數(shù)根，
與x軸有交點(diǎn)，也即?x₀∈R，ax₀²-bx₀-c≤0，
若?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，說明存在x₀使得g（x）=ax²-bx-c＜0，又a＞0，開口向上，
g（x）與x軸有交點(diǎn)，可得△≥0，
所以f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽，
故f（x）=lg（ax²-bx-c）的值域?yàn)镽的充要條件是：?x₀∈R，ax₀²≤bx₀+c，
故選B；

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，難點(diǎn)在于對(duì)g（x）=ax²-bx-c的值域?yàn)閇0，+∞）的理解與應(yīng)用，常與函數(shù)f（x）=lg（ax²-bx-c）的定義域?yàn)镽相混淆，也是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于中檔題．