Question

已知f(n)=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

（n∈N^*）
（Ⅰ）求f（1），f（2），f（3），f（4）歸納并猜想f（n）
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納證明你的猜想．

Answer 1

分析：（I）分別計算f（1）=

1

2

，f（2）=1-

1

3

=

2

3

，f（3），f（4），歸納并猜想f（n）=

n

n+1

；
（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明，①檢驗n=1時，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即f（k）=

k

k+1

，再證明當(dāng)n=k+1時，也成立，從而猜想成立．

解答：解：（I）分別計算f（1）=

1

2

，
f（2）=

1

1×2

+

1

2×3

=1-

1

3

=

2

3

，
f（3）=1-

1

4

=

3

4

，
f（4）=1-

1

5

=

4

5

，
歸納并猜想f（n）=

n

n+1

（n∈N^*）；
（II）證明：①當(dāng)n=1 時，由上面計算知結(jié)論正確．
②假設(shè)n=k時等式成立，即f（k）=

k

k+1

，
則當(dāng)n=k+1時，f（k+1）=f（k）+

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

，
即n=k+1時等式成立．
由①②知，等式對任意正整數(shù)都成立．

點評：本題考查根據(jù)遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式的方法，考查數(shù)學(xué)歸納法，證明n=k+1時，是解題的難點．