Question

15．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，若AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱錐P-ABD的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，則A到平面PBC的距離是$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

Answer 1

分析 通過AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱錐P-ABD的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，說明AH就是A到平面PBC的距離．通過解三角形求解即可．

解答 解：∵AP=1，AD=$\sqrt{3}$，三棱錐P-ABD的體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴V=$\frac{1}{6}$PA•AB•AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴AB=$\frac{3}{2}$，
作AH⊥PB交PB于H，
由題意可知BC⊥平面PAB，
∴BC⊥AH，
故AH⊥平面PBC．
又AH=$\frac{PA•AB}{PB}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
A到平面PBC的距離$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，點到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．