若數(shù)列{an}滿足對任意的n有：Sn=
n(a1+an)2
，試問該數(shù)列是怎樣的數(shù)列？并證明你的結(jié)論．
分析：先根據(jù)Sn=
n(a1+an)
2
可得到an+1=Sn+1-Sn、an=Sn-Sn-1（n≥2），然后二式相減并代入關(guān)系式Sn=
n(a1+an)
2
可得到2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）整理可得到2an=an+1+an-1（n≥2），最后根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得證．
解答：解：an+1=Sn+1-Sn①
an=Sn-Sn-1（n≥2）②
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn-1-2Sn
=
(n+1)(a1+an+1)
2
+
(n-1)(a1+an-1)
2
-n（a1+an）
=
1
2
[（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan]
可得2（an+1-an）=（n+1）an+1+（n-1）an-1-2nan（n≥2）
整理可得2（n-1）an=（n-1）an+1+（n-1）an-1（n≥2）
即2an=an+1+an-1（n≥2）
根據(jù)等差數(shù)列的特性可知：此數(shù)列為等差數(shù)列
點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的證明，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•黃浦區(qū)二模）若數(shù)列{an}滿足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q為常數(shù)）對任意n∈N*都成立，則我們把數(shù)列{an}稱為“L型數(shù)列”．
（1）試問等差數(shù)列{an}、等比數(shù)列{bn}（公比為r）是否為L型數(shù)列？若是，寫出對應(yīng)p、q的值；若不是，說明理由．
（2）已知L型數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+1-4an+4an-1=0（n≥2，n∈N*），證明：數(shù)列{an+1-2an}是等比數(shù)列，并進(jìn)一步求出{an}的通項(xiàng)公式an．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高中數(shù)學(xué)全解題庫(國標(biāo)蘇教版·必修4、必修5) 蘇教版 題型：044

若數(shù)列{an}滿足對一切n∈N*，an∈(0，1)，且，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和，求證：(1)；(2)Sn＜2a1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若數(shù)列{an}滿足對任意的n有：Sn=
n(a1+an)
2
，試問該數(shù)列是怎樣的數(shù)列？并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)必備（第92-93課時(shí)）：第十二章 極限-數(shù)列的極限、數(shù)學(xué)歸納法（解析版） 題型：解答題

若數(shù)列{an}滿足對任意的n有：Sn=，試問該數(shù)列是怎樣的數(shù)列？并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案