Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意可證明平面底面,由面面垂直的性質(zhì)可證明平面;

（2）由題意可證明,則以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出各個點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,即可利用法向量法求得兩個平面形成二面角的余弦值大小,結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式,即可求得求二面角的正弦值.

（1）證明：∵底面是正方形,

∴,

∵側(cè)面底面,側(cè)面底面,

∴由面面垂直的性質(zhì)定理,得平面.

（2）設(shè),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,

則,.由面面垂直的性質(zhì)定理知平面,

又平面,故.

以為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,的方向?yàn)?/span>軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

∵側(cè)面為正三角形,

∴,

則,,,,

∵為的中點(diǎn),

∴,

∴,,

設(shè)平面的法向量,

則,即,即,

所以可取,

平面的法向量可取,

于是,

由同角三角函數(shù)關(guān)系式可求得

所以,二面角的正弦值為.