Question

已知向量

a

=（sin（ωx+φ），2），

b

=（1，cos（ωx+φ）），ω＞0，0＜φ＜

π

4

．函數f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

），若y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1，且過點M（1，

7

2

）．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）當-1≤x≤1時，求函數f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先由向量運算以及三角恒等變換化簡f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=-cos（2ωx+2φ）+3，再由y=f（x）的圖象的一個對稱中心與它相鄰的一個對稱軸之間的距離為1判斷出函數的周期是4，由周期公式求得ω，再由圖象過點M（1，

7

2

），代入求得φ，即得函數f（x）的表達式．
（Ⅱ）當-1≤x≤1時，代入求得相位的取值范圍結合余弦函數的單調性求函數f（x）的單調區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=

a

2-

b

2=sin²（ωx+φ）+4-1-cos²（ωx+φ），
=-cos（2ωx+2φ）+3
由題意得周期T=

2π

2ω

=4，故ω=

π

4

…（4分）
又圖象過點M（1，

7

2

），所以

7

2

=3-cos（

π

2

+2φ）
即sin2φ=

1

2

，而0＜φ＜

π

4

，所以2φ=

π

6

∴f（x）=3-cos（

π

2

x+

π

6

）
（2）當-1≤x≤1時，-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

∴當-

π

3

≤

π

2

x+

π

6

≤0時，即x∈[-1，-

1

3

]時，f（x）是減函數
當0≤

π

2

x+

π

6

≤

2π

3

時，即x∈[-

1

3

，1]時，f（x）是增函數
∴函數f（x）的單調減區(qū)間是[-1，-

1

3

]，單調增區(qū)間是[-

1

3

，1]

點評：本題考查余弦函數的單調性，求解本題的關鍵是進行正確的向量的坐標運算與三角恒等變換求出函數的解析式，再根據余弦函數的單調性求出函數的單調區(qū)間．