設(shè)a=2,c=1,為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N+,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論.
導(dǎo)思:理順清楚數(shù)量間的關(guān)系,用數(shù)學(xué)歸納法證明.
探究:從第n年初到第n+1年初,魚群的繁殖量為axn,被捕撈量為bxn,死亡量為cx2n,因此,xn+1-xn=axn-bxn-cx2n,n∈N+.(*)
即xn+1=xn(a-b+1-cxn),n∈N+.(**)
若b的值使得xn>0,n∈N+.
由xn+1=xn(3-b-xn),n∈N+.知0<xn<3-b,n∈N+.特別地,有0<x1<3-b.即0<b<3-x1.
而x1∈(0,2),所以b∈(0,1].
由此猜測(cè)b的最大允許值是1.
下證當(dāng)x1∈(0,2),b=1時(shí),都有xn∈(0,2),n∈N+.
①當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即xk∈(0,2).
則當(dāng)n=k+1時(shí),xk+1=xk(2-xk)>0.
又因?yàn)閤k+1=xk(2-xk)=-(xk-1)2+1≤1<2,
所以xk+1∈(0,2).故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.
由①②可知,對(duì)于任意n∈N+,都有xn∈(0,2).
綜上所述,為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N+,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1.
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(1)求x n+1與xn的關(guān)系式.
(2)猜測(cè):當(dāng)且僅當(dāng)x1、a、b、c滿足什么條件時(shí),每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)
(3)設(shè)a=2,c=1,為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N *,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年重慶市高三上學(xué)期第四次測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量,n∈N*,且x1>0.不考慮其它因素,設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比,死亡量與xn2成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.
(Ⅰ)求xn+1與xn的關(guān)系式;
(Ⅱ)猜測(cè):當(dāng)且僅當(dāng)x1,a,b,c滿足什么條件時(shí),每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)
(Ⅲ)設(shè)a=2,b>0,c=1為保證對(duì)任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論.
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