Question

已知方程x³-

2

9

x²+6x-a=0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）=F（x）-a=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，則表示直線y=a與F（x）僅有一個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)求導(dǎo)得到F（x）的圖象，從而得到答案．

解答： 解：設(shè)F（x）=x³-

9

2

x²+6x，
∴F（x）'=3x²-9x+6=3（x²-3x+2）=3（x-1）（x-2），
令F（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，令F（x）＜0，解得：1＜x＜2，
即F（x）在（-∞，1）為增函數(shù)，F(xiàn)（x）_極大=F（1）=

5

2

，
F（x）在（1，2）為減函數(shù)，F(xiàn)（x）_極小=F（2）=2，
F（x）在（2，+∞）為增函數(shù)，x→+∞，F(xiàn)（x）→+∞，
f（x）=F（x）-a=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，則表示直線y=a與F（x）僅有一個(gè)交點(diǎn)，
畫(huà)出函數(shù)F（x）的圖象，如圖示：


∴當(dāng)a＞

5

2

或a＜2時(shí)，F(xiàn)（x）-a=0有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的存在性問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，考查了函數(shù)的極值問(wèn)題，是一道中檔題．