設(shè)A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF．若∠ABF∈[
π
12
，
π
4
]，則該橢圓離心率的取值范圍為（　�。�
分析：由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的對稱性推導(dǎo)出|AF|+|BF|=2a，|AB|=2c，設(shè)∠ABF=α，則能推導(dǎo)出2csinα+2ccosα=2a，由此能求出結(jié)果．
解答：解：∵A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)B，
∴B也在橢圓上，
設(shè)左焦點(diǎn)為F′，
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，
又∵|BF|=|AF′|，∴|AF|+|BF|=2a …①
∵O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c，
設(shè)∠ABF=α，則|AF|=2csinα …②
|BF|=2ccosα …③
②③代入①，得2csinα+2ccosα=2a，
∴
c
a
=
1
sinα+cosα
，
即e=
1
sinα+cosα
=
1
2
sin(α+
π
4
)
，
∵α=∠ABF∈[
π
12
，
π
4
]，∴
π
3
≤α+
π
4
≤
π
2
，
∴
3
2
≤sin(α+
π
4
)≤1，
∴
3
2
≤sin（α+
π
4
）≤1
∴
2
2
≤e≤
6
3
．
故選D．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓的對稱性的靈活運(yùn)用，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦AB、AC分別過焦點(diǎn)F1、F2，當(dāng)AC垂直于x軸時(shí)，AF1=3AF2．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)
AF1
=λ1
F1B
 ，   
AF2
=λ2
F2C
，證明：當(dāng)A點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，λ1+λ2是定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知B（-1，1）是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，且點(diǎn)B到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)距離之和為4；
（1）求橢圓方程；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，直線AB交y軸于點(diǎn)C，過C作斜率為k的直線l交橢圓于D，E兩點(diǎn)，若
S△CBD
S△CAE
=
1
6
，求實(shí)數(shù)k的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天津）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P（
5
5
a，
2
2
a）在橢圓上．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若點(diǎn)Q在橢圓上且滿足|AQ|=|AO|，求直線OQ的斜率的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湘潭模擬）設(shè)A為橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF=θ．
（1）|AB|=
2
a2-b2
2
a2-b2
；
（2）若θ∈[
π
12
，
π
4
]，則該橢圓離心率的取值范圍為
[
2
2
，
6
3
]
[
2
2
，
6
3
]
．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案