Question

已知函數(shù)f（x）=lg（x²+ax+b）的定義域為A，g(x)=

kx2+4x+k+3

的定義域為B．若（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}．
（1）求集合A以及實數(shù)a，b的值；
（2）求實數(shù)k的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，可知C_RA={x|-2≤x≤3}，從而求出集合A，而函數(shù)f（x）=lg（x²+ax+b）的定義域為A，因此不等式x²+ax+b＞0的解集為{x|x＞3或x＜-2}，根據(jù)韋達定理即可求得實數(shù)a，b的值；
（2）由g(x)=

kx2+4x+k+3

的定義域為B，并且B是集合C_RA={x|-2≤x≤3}的非空子集，根據(jù)二次函數(shù)根的分布即可求出實數(shù)k的范圍．

解答：解：（1）∵（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴C_RA={x|-2≤x≤3}，
∴A={x|x＞3或x＜-2}，
∵函數(shù)f（x）=lg（x²+ax+b）的定義域為A，
∴不等式x²+ax+b＞0的解集為{x|x＞3或x＜-2}，
∴a=-1，b=-6；
（2）∵g(x)=

kx2+4x+k+3

的定義域為B，
∴不等式kx²+4x+k+3≥0的解集為B，
又∵（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}，
∴不等式kx²+4x+k+3≥0的解集是集合{x|-2≤x≤3}的非空子集，
∴

k＜0 △=16-4k(k+3)≥0 -2≤- 2 k ≤3 f(-2)=4k-8+k+3≤0 f(3)=9k+12+k+3≤0

，解得-4≤k≤-

3

2

∴實數(shù)k的范圍為-4≤k≤-

3

2

．

點評：本題考查函數(shù)的定義域和不等式的解法，以及二次函數(shù)根的分布等知識，綜合性強，其中根據(jù)“（C_RA）∩B=B，（C_RA）∪B={x|-2≤x≤3}”求出集合A是解題的關(guān)鍵，屬中檔題．