Question

在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，△ABC是正三角形，AC與BD的交點M恰好是AC中點，N為線段PB的中點，G在線段BM上，且

BG

GM

=2．
（Ⅰ）求證：AB⊥PD；
（Ⅱ）求證：GN∥平面PCD．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定

專題：

分析：（Ⅰ）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定，即可得證；
（Ⅱ）由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形中30°所對的直角邊為斜邊的一半，得到MD=

1

4

BD，由平行線分線段成比例的判定得到GN∥PD，再由線面平行的判定定理即可得證．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，
又∵AD⊥AB，∴AB⊥平面PAD，
又PD?平面PAD，∴AB⊥PD．
（Ⅱ）證明：∵△ABC是正三角形，且M是AC中點，
∴BM⊥AC，
在直角三角形AMD中，∠MAD=30°，∴MD=

1

2

AD，
在直角三角形ABD中，∠ABD=30°，∴AD=

1

2

BD，
∴MD=

1

4

BD，
又∵

BG

GM

=2，∴BG=GD，又N為線段PB的中點，
∴GN∥PD，GN?平面PCD，PD?平面PCD，
∴GN∥平面PCD．

點評：本題主要考查線面垂直的判定和性質(zhì)，以及線面平行的判定定理，注意線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，本題屬于基礎(chǔ)題．