Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，PC=

10

（1）求PC與面ABCD所成角的正弦值；
（2）求二面角P-BC-A的平面角的大小；
（3）平面PBC與平面PAD交于直線l，畫出直線l，并判斷直線l與直線BC的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直BC的直線為y軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出PC與面ABCD所成角的正弦值．
（2）分別求出平面PBC的法向量和平面BCA的法向量，利用向量法能求出二面角P-BC-A的平面角的大�。�
（3）過(guò)點(diǎn)A作AQ∥DP，過(guò)P作PQ∥AD，交AQ于點(diǎn)Q，直線PQ就是直線l，由此能判斷l(xiāng)∥BC．

解答： 解：（1）如圖，∵在四棱錐P-ABCD中，
平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
四邊形ABCD為菱形，且∠DAB=60°，PC=

10

，
∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直BC的直線為y軸，
過(guò)點(diǎn)D垂直于平面ABCD的直線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（1，0，

3

），C（-1，

3

，0），
∴

PC

=（-2，

3

，-

3

），B（1，

3

，0），
面ABCD的法向量

n

=（0，0，1），
設(shè)PC與平面ABCD所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

PC

，

n

＞|=|

- 3

10

|=

30

10

，
∴PC與面ABCD所成角的正弦值為

30

10

．
（2）

PB

=(0，

3

，-

3

)

PC

=(-2，

3

，-

3

)，
設(shè)平面PBC的法向量

m

=（x，y，z），
則

m • PB = 3 y- 3 z=0 m • PC =-2x+ 3 y- 3 z=0

，
取y=1，得

m

=（0，1，1），
平面BCA的法向量

n

=（0，0，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

2

=

2

2

∴二面角P-BC-A的平面角的大小為45°．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AQ∥DP，過(guò)P作PQ∥AD，交AQ于點(diǎn)Q，連結(jié)BQ，
∵PQ∥AD，∴ADPQ是平面，
∵PQ∥AD，AD∥BC，∴PQ∥BC，
∴BCPQ也是一個(gè)平面，
∴平面ADPQ∩平面BCPQ=PQ，
∵平面PBC與平面PAD交于直線l，∴直線PQ就是直線l，
∵l∥AD，BC∥AD，
∴l(xiāng)∥BC．
故直線l與直線BC平行．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，考查二面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論能力，考查用向量方法解決問題能力．