Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

-x^m，且f（4）=-

7

2

．
（1）求m的值；判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并給予證明．
（2）已知f（t²+t+1）＜f（3），求t的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法即可求m的值；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=

2

x

-x^m，且f（4）=-

7

2

，
∴f（4）=

2

4

-4m=-

7

2

，即4^m=

7

2

+

1

2

=4，解得m=1．
即f（x）=

2

x

-x，則f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
證明：設(shè)x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）=

2

x2

-x2-(

2

x1

-x1)=（x₁-x₂）（

2

x1x2

+1），
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
（2）∵t²+t+1=（t+

1

2

）²+

3

4

＞0，且f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)遞減．
∴由f（t²+t+1）＜f（3）得到t²+t+1＞3，
即t²+t-2＞0，解得t＞1或x＜-2，即t的范圍是t＞1或x＜-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的證明方法：定義法．