Question

若函數(shù)f（x）=ax²+20x+14（a＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)t，在閉區(qū)間[t-1，t+1]上總存在兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)區(qū)間[t-1，t+1]的中點(diǎn)是對(duì)稱軸時(shí)，只要滿足[t-1，t+1]上總存在兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，則對(duì)其它任何情況必成立．

解答： 解：因?yàn)閍＞0，所以二次函數(shù)f（x）=ax²+20x+14的圖象開口向上．

在閉區(qū)間[t-1，t+1]上總存在兩實(shí)數(shù)x₁，x₂，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥8成立，
只需t=-

10

a

時(shí)f（t+1）-f（t）≥8，
即a（t+1）²+20（t+1）+14-（at²+20t+14）≥8，
即2at+a+20≥8，將t=-

10

a

代入得a≥8．
所以a的最小值為8．
故答案為8

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的最值研究恒成立問(wèn)題的思路，同時(shí)結(jié)合函數(shù)圖象分析問(wèn)題是關(guān)鍵．