Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，a_n+l=3a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）求{a_n}的第4項(xiàng)a₄及前5項(xiàng)和S₅；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b₁=1，b_n-1=

1

an-1

，T_n=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n•3^n-1，證明：數(shù)列{4T_n-3ⁿ•b_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件得到數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)閍_n+l=3a_n，又a₁=3，所以

an+1

an

=3，
因此{(lán)a_n}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
所以a_n=3ⁿ，a₄=3⁴，=81，S_n=

3(1-3n)

1-3

=

3

2

(3n-1)，S₅=

3

2

(35-1)=363．
（Ⅱ）證明：T_n=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n•3^n-1，①
T_n-1=b₁+b₂•3+b₃•3²+…+b_n-1•3^n-2，②
T_n-T_n-1=b_n•3^n-1，
所以4T_n-3ⁿ•b_n-（4T_n-1-3^n-1•b_n-1）=4•3^n-1•b_n-3•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1
=•3^n-1•b_n+•3^n-1•b_n-1=•3^n-1•（b_n+b_n-1）=1，
所以，數(shù)列{4T_n-3ⁿ•b_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的判斷，考查學(xué)生的計(jì)算能力．