Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx（ω＞0）的周期為$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值和函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化簡解析式為f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，再由周期公式求ω的值，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解之即可得出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（Ⅱ）利用余弦定理求出角x的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinωx•cosωx-cos²ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1+cos2ωx}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵周期為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω的值為2；
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{π}{12}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{6}$]k∈z．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，由題意，得 cosx=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$．
又∵0＜x＜π，
∴0＜x≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{6}$＜4x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（4x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1＜sin（4x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$≤1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，故f（x）的值域為（-1，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，余弦定理的應用，兩角差的正弦公式的應用，化簡f（x）的解析式，是解題的突破口，屬于中檔題．