Question

已知△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m，?
（1）設(shè)

6

＜m＜4

6

，求向量

OF

與

FQ

的夾角θ的取值范圍；?
（2）設(shè)以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（如圖），|

OF

|=c，m=（

6

4

-1）c²，當(dāng)|

OQ

|取最小值時(shí)，求此雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（1）利用△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m，可求tanθ的值，根據(jù)m的范圍，即可求得向量

OF

與

FQ

的夾角θ的取值范圍；
（2）利用|

OF

|=c，

OF

•

FQ

═（

6

4

-1）c²，可求|

OQ

|，利用基本不等式求最小值，從而可求雙曲線的方程．

解答：解：（1）由已知，△OFQ的面積為2

6

，且

OF

•

FQ

=m，得

1 2 | OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |•cosθ=m

（2分）
∴tanθ=

4 6

m

，
∵

6

＜m＜4

6

，∴1＜tanθ＜4，
∴

π

4

＜θ＜arctan4．（6分）
（2）設(shè)所求的雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），Q（x₁，y₁），則

FQ

=（x₁-c，y₁）
∵△OFQ的面積

1

2

|

OF

||y₁|=2

6

，∴y₁=±

4 6

c

，
又由

OF

•

FQ

=（c，0）•（x₁-c，y₁）=（x₁-c）c=（

6

4

-1）c²，∴x₁=

6

4

c，（8分）
|

OQ

|=

x12+y12

=

3c2 8 + 96 c2

≥

12

，當(dāng)且僅當(dāng)c=4時(shí)，|

OQ

|最�。�
此時(shí)Q的坐標(biāo)為（

6

，

6

），或（

6

，-

6

）．
由此可得

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

，解得

a2=4 b2=12.

（11分）
故所求方程為

x2

4

-

y2

12

=1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查基本不等式的運(yùn)用，正確運(yùn)用向量的數(shù)量積公式是關(guān)鍵．