Question

關于x的不等式ax²-|x+1|+3a≥0的解集為（-∞，+∞），則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：將不等式恒成立進行參數分類得到a≥

|x+1|

x2+3

，利用換元法將不等式轉化為基本不等式的性質，根據基本不等式的性質求出

|x+1|

x2+3

的最大值即可得到結論．

解答： 解：不等式ax²-|x+1|+3a≥0，
則a（x²+3）≥|x+1|，
即a≥

|x+1|

x2+3

，
設t=x+1，則x=t-1，
則不等式a≥

|x+1|

x2+3

等價為a≥

|x+1|

x2+3

=

|t|

(t-1)2+3

=

|t|

t2-2t+4

＞0
即a＞0，
設f（t）=

|t|

t2-2t+4

，
當|t|=0，即x=-1時，不等式等價為a+3a=4a≥0，此時滿足條件，
當t＞0，f（t）=

|t|

t2-2t+4

=

t

t2-2t+4

=

1

t+ 4 t -2

≤

1

2 t• 4 t -2

=

1

4-2

=

1

2

，當且僅當t=

4

t

，
即t=2，即x=1時取等號．
當t＜0，f（t）=

|t|

t2-2t+4

=

-t

t2-2t+4

=

1

(-t)+( 4 -t )+2

≤

1

2 (-t)• 4 -t +2

=

1

6

，
當且僅當-t=-

4

t

，
∴t=-2，即x=-3時取等號．
∴當x=1，即t=2時，f_max（t）=

|t|

t2-2t+4

=

1

2

，
∴要使a≥

|x+1|

x2+3

恒成立，則a≥

1

2

，
故答案為：[

1

2

，+∞）

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用參數分離法將不等式進行等價化簡，利用基本不等式的性質是解決本題的關鍵，綜合性較強，有一定的難度．