Question

14．雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程與圓${（x+\sqrt{3}）}^{2}+{（y+1）}^{2}=1$相切，則此雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，利用漸近線與圓相切列出方程，然后求解雙曲線的離心率即可．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的一條漸近線方程：bx-ay=0．
雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的漸近線方程與圓${（x+\sqrt{3}）}^{2}+{（y+1）}^{2}=1$（圓心（-$\sqrt{3}$，-1）半徑為1）相切，
可得：$\frac{|-\sqrt{3}b+a|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，
可得：b=$\sqrt{3}a$，兩邊平方b²=3a²，
即c²-a²=3a²，
即c²=4a²
可得：e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=4，（e＞1），解得e=2．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．